Взмах крыла бабочки в Бразилии приводит к торнадо в Техасе. Этой фразой метеоролог Эдвард Нортон Лоренц образно выразил всю хаотичность нашего мира. Говоря более абстрактно, хаотичность определяется тем, что незначительные различия в начальных условиях системы приводят к очень большим изменениям в будущем.
О том, что это за системы и насколько велико влияние начальных "взмахов", мы сейчас и поговорим.
Счетная палата
До середины XX века фундаментальная наука в хаотичности не сильно нуждалась. Законы физики формулировались уравнениями, которые могли быть вполне определенно рассчитаны. А если где-то возникали трудности с решениями, то их списывали на несовершенство математических методов и продолжали решать, временами до победного конца. Ведь в конечном итоге всю материю и энергию можно свести к элементарным частицам, каждой частице можно прописать волновую функцию, и расчет чего бы то ни было превращается в вычислительную задачу. Вычислять уравнения квантовой механики — тяжкая рутина даже для суперкомпьютеров, но всегда можно надеяться, что с новым поколением процессоров дело пойдет быстрее. Вычислительный подход и по сей день дает результаты на переднем крае науки. Нобелевская премия 2013 года по химии была присуждена за открытие, позволившее разделить в химических реакциях то, что компьютерам необходимо считать в полную силу „из первых принципов" квантовой механики, и то, на чем можно безболезненно сэкономить, заменив молекулы грубыми модельками из шариков. К счастью, мир оказался не так прост, и теперь мы знаем, что вычислить можно далеко не все.
Третий — лишний
Перенесемся в XIX век и посмотрим на так называемую проблему трех тел, возникшую в астрономии. Можно довольно легко, пользуясь законами динамики, рассчитать движение планеты вокруг звезды, как и движение любых двух тяготеющих тел. Но если добавить в эту компанию третье тело — еще одну планету, например, то такая задача имеет решение только в очень простых, идеальных случаях. Точно рассчитать систему Солнце, Земля и Юпитер в уравнениях динамики нельзя. В 1889 году математик Пуанкаре доказал, что точный расчет в принципе невозможно провести для большинства динамических систем, и это разбило надежды на строгое описание мира.
Теория хаоса, однако, зародилась не в связи с динамикой, а в исследованиях по физической химии в Брюсселе в 50-х годах XX века. Ученые, создавшие новую теорию, вошли в историю как брюссельская школа, а первые открытия принадлежали бельгийскому химику Илье Пригожину. Нобелевский комитет отметил эти открытия премией в 1977 году (лучше поздно, чем никогда). Кстати, кроме занятий химией Пригожин потратил немало сил на популяризацию трудов брюссельской школы, благодаря чему теория хаоса стала известна не только в узком кругу специалистов.
Про резонансы
Чтобы понять, с какими явлениями имеет дело теория хаоса, рассмотрим пример с необычным маятником. Представим, что маятник закреплен на подвижной опоре, которая сама совершает колебания. Движение маятника получается из комбинации двух простых движений, каждое из которых элементарно вычисляется. Однако результирующее движение, которое получается из взаимодействия, чрезвычайно сложно. В этом виноваты резонансы, которые будут возникать между двумя типами движений. Если мы хотим узнать, как будет вести себя обычный маятник, то, вооружившись секундомером и листком бумаги, мы можем прикинуть период его колебаний. Но со сложным маятником так не получится. Как бы долго мы его ни наблюдали, как бы точно ни проводили измерения, все равно настанет момент, когда какой-нибудь неучтенный резонанс существенно отклонит движение от нашего расчета.
Про аттракторы
Для описания поведения сложных систем придумали аттракторы. Аттрактор — это состояние, в которое стремится прийти система. Аттрактор реального маятника с трением — это одна точка: состояние покоя. Подкидывание монетки имеет аттрактор из двух точек — орел или решка. Интересным процессом с аттрактором из двух точек являются вихри Бе-нара, возникающие в тонком слое жидкости при особых условиях. Если нижнюю границу жидкости немного подогреть, то в жидкости образуются вихри, которые будут эту самую жидкость перемешивать, стремясь уравнять температуры на нижней и верхней границах.
Про вихри
Вихри образуют ячеистую структуру, при этом направление вихря в конкретной ячейке является случайным. Мы точно знаем, что при таких-то условиях вихри возникнут, но по часовой или против часовой стрелки будет вращаться интересующая нас ячейка, предсказать не можем. При этом движение молекул в жидкости остается случайным, и, взглянув на воображаемый моментальный снимок всех молекул, мы не смогли бы даже предположить, что сейчас в жидкости происходит нечто организованное. Пригожин нашел эту самоорганизацию, возникающую из случайного броуновского движения, настолько поразительной, что сравнил ее с эволюцией видов — когда множество случайных генетических мутаций превращается в невероятный по сложности и красоте процесс естественного отбора.
Про флуктуации и бифуркации
За выбор направления отдельного вихря Бена-ра отвечают те самые „крылья бабочки", или, говоря по науке, малые флуктуации. Флуктуации связаны со случайными процессами внутри системы, например с хаотичным движением молекул. Внешние факторы, которые оказывают аналогичное влияние, называют воздействием фона. В развитии системы существуют особые моменты — бифуркации, — в которых система ведет себя крайне нестабильно и непредсказуемо. Поэтому даже слабейшее воздействие, в другое время оставшееся бы без последствий, может повлиять на состояние, которое установится после бифуркации.
Для тех, кто не понял
Посмотрим на другие явления и их аттракторы. У реакции Белоусова — Жаботинского, известной как химические часы, аттрактор цикличен и представляет собой замкнутую линию на плоскости. Химическая реакция повторяется по кругу каждые несколько секунд, меняя цвет смеси в пробирке с красного на голубой и обратно. В отличие от вихрей химические часы забудут небольшие возмущения и всегда выйдут на один и тот же цикл. Мы можем не знать самих аттракторов, но на основании наблюдений математики научились вычислять размерность аттракторов. Это позволяет кое-что узнать о явлении. Одномерный и двумерный аттракторы определяют периодическое движение. Целая размерность аттрактора указывает, с помощью скольких независимых переменных можно его описать. Аттрактор большой дробной размерности будет говорить о сложном, хаотичном характере явления.
Про погоду
Посмотрим на климат Земли, благо геология позволяет изучить его довольно продолжительное прошлое. По данным Грегуара Нико-лиса, в глобальном масштабе колебания климата за всю доступную изучению историю нашей планеты порождаются аттрактором малой размерности. То есть для описания такого сложного явления достаточно всего нескольких переменных! Пока нет уверенности, что размерность аттрактора окажется целой и климат Земли имеет склонность повторяться, но даже такое знание о его сложности — уже немало. Образование атмосферных циклонов и антициклонов управляется циклическим аттрактором размерности семь и может предсказываться метеорологами на три недели. К сожалению, местные прогнозы погоды даже на моделях с десятками и сотнями тысяч параметров имеют точность не более трех дней.
Про мозг
На какие еще явления можно посмотреть с помощью аттракторов? Нейрофизиологи посмотрели на человеский мозг. Исследования Агнессы Баблоянц электроэнцефалограммы мозга показали, что в состоянии глубокого сна его активностью управляет аттрактор с размерностью пять. Зато для состояния бодрствования аттрактор с конечным числом измерений не найден, поэтому есть основания полагать, что сейчас вашим мозгом управляет случайный процесс. Это можно объяснить тем, что мозг находится во взаимодействии со средой, и „крылья бабочки", постоянно появляющиеся в виде различных внешних факторов, не дают мозгу вести себя как самоорганизующаяся система с приличным аттрактором. Если к этому добавить, что при эпилептических припадках в активности мозга опять появляется аттрактор малой размерности, то впору выдвигать гипотезу о патологичности порядка (речь идет только об электрической активности мозга, поэтому учебник по медитации пока не выбрасывайте).
Про фракталы
Кроме простых аттракторов есть "странные", например дробные, они же фрактальные. Фракталы, которые многим знакомы по интригующим картинам компьютерной графики, — это множества, которые строятся по специальным законам так, что их размерность оказывается между целыми числами. Множество Кантора меньше, чем прямая, но больше, чем точки, то есть его размерность лежит между 0 и 1. У других фракталов размерность может быть между прямой и плоскостью, между плоскостью и пространством, и так далее. Если простые аттракторы говорят нам о некоторой устойчивости и цикличности, то фрактальные — о хаосе. Эволюция процесса с фрактальным аттрактором имеет свойство разбегаться к разным точкам даже из одного и того же состояния.
Поведение хаотичной системы со странным аттрактором нельзя рассчитать в лоб с точностью аналитического решения, но определенному прогнозированию они поддаются. Можно обратиться к теории вероятностей. Для современников Эйнштейна вероятность была следствием незнания чего-то о системе, вынужденным приближением к какому-то точному знанию, отсюда и известное изречение Эйнштейна: „Бог не играет в кости".
В теории хаоса вероятность, напротив, рассматривается как сущность явлений. Вместо статистики в ход идут такие сложные области математики, как теория марковских процессов, которая позволяет рассчитывать вероятность изменения системы в единицу времени. Это важно, если мы хотим понимать динамику явления.
Время Ляпунова
Полезная величина, которую можно узнать, — это время Ляпунова. Образно говоря, время Ляпунова — это временной горизонт, в пределах которого можно строить прогнозы. На временах больших этого горизонта система утрачивает память о начальном состоянии, поэтому все, что мы вначале намеряли и на основе чего хотели строить вычисления, теряет смысл. Можно сказать, что это собственное время процесса, связанное с его природой. Время в теории хаоса имеет физический смысл как меры неустойчивости.
Существует экспоненциальная зависимость точности измерений и времени Ляпунова. Формально, чем точнее мы наблюдаем и измеряем какой-то процесс, тем дальше во времени мы его можем предсказать. На деле без волшебной палочки, способной на порядки увеличивать точность измерении, существенно расширить горизонт мы не сможем. Да это и не всегда необходимо. Вернемся к примеру с климатом. Время Ляпунова для климата в планетарном масштабе составляет порядка 8000 лет, что для практических нужд очень неплохо. Остается вспомнить, что до середины 1970-х основной темой климатологов было глобальное похолодание, а не глобальное потепление (анализ этого замечательного тренда провел Джон Нейсбит), и с удовлетворением отметить, что климат, судя по всему, более стабилен, чем наша мода на сенсации.
Для тех, кто не понял вообще ничего
"Теория хаоса дала науке новый взгляд на мир, а мир, — пишет Пригожин, — не является ни автоматом, ни хаосом. Наш мир — мир неопределенности". Будем надеяться, что эта неопределенность не помешает ученым и дальше решать стоящие перед наукой задачи, а мы хотя бы окончательно разберемся, на сколько дней доверять прогнозам погоды. Теперь ответим на вопрос про бабочку: может ли незначительное событие закономерно привести к катастрофическим последствиям, а по мысли Рэя Брэдбери из рассказа "И грянул гром" — и к изменению всей истории? Да, если процесс сильно хаотичен и управляется странным аттрактором, то такая вероятность есть, потому что любое изменение начальных условий со временем кардинально изменит конечное состояние. Впрочем, сильно хаотичный процесс имеет вероятностную природу и умеет приходить в разные точки даже из одного и того же состояния. Так что не стоит переоценивать роль бабочек в истории.